ON GEOMETRICAL PROPERTIES OF A HYPERBOLIC OCTAHEDRON HAVING mmm-SYMMETRY
Abstract
In the present paper geometric properties are investigated for a hyperbolic octahedron having rororo-symmetry.Trigonometrical identities connecting lengths ofedges and dihedral angles ofthe polyhedron under consideration are obtained (the sine-tangent theorem). It gives the key to express lengths through dihedral angles. Further, we find the volume of the octahedron in very important geometrical cases by making use the Schlafli formula.
Keywords
hyperbolic octahedron,
volume,
symmetric octahedron,
polyhedron,
the Schlafli formula,
the sine-tangent theorem
514.132
About the Authors
Galia Amanboldinovna Baigonakova
Gorno-Altai State University
Russian Federation
Russian Federation
Maurisio Godoy-Molina
Ecole Polytechnique Route de Saclay, France
Russian Federation
Russian Federation
Aleksander Dmitirievich Mednykh
Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences
Russian Federation
Russian Federation
References
1. Cho, Yu. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra / Yu. Cho, H. Kim // Discr. Comput. Geom. - 1999. - 22. - С. 347 - 366.
2. Derevnin, D. A. The Volume of the Lambert Cube in Spherical Space / D. A. Derevnin, A. D. Mednykh // Mat. Zametki. - 2009. - P. 190 - 201. J b J a= и J i 2 1 0 2 17 Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий
3. Gaifullin, A. Sabitov polinomiels for polyhedra in four dimensions / A. Gaifullin // arXiv: 1108.6014v1 [math.MG].
4. Kellerhals, R. On the volume of hyperbolic polyhedra /R. Kellehals // Math. Ann. - 1989. - 285. - С. 541 - 569.
5. Kneser, H. Der Simplexinhalt in der nichteuklidischen Geometrie / H. Kneser // Deutsche Math. - 1936. - 1. - С. 337 - 340.
6. Lobatschefskij, N. I. Imaginare Geometrie und ihre Anwendung auf einige Integrale / N. I. Lobatschefskij // Deutsche Ubersetzung von H. Liebmann.- Leipzig: Teubner, 1904.
7. Mednykh, A. D. On hyperbolic polyhedra arising as convex cores of quasi- Fuchsian punctured torus groups / A. D. Mednykh, J. Parker, A. Yu. Vesnin // Bol. Soc. Mat. Mexicana. - 2004. -10. - С. 357 - 381.
8. Milnor, J. W. How to compute volume in hyperbolic space / J. W. Milnor // Collected Papers, I. Geometry.-Publish or Perish. - 1994. - С. 189 -212.
9. Milnor, J. Hyperbolic geometry: the first 150 years / J. Milnor // Bull. Amer. Math. Soc. - 1982. - 6, № 1. - С. 9 - 24.
10. Murakami, J. On the volume ofa hyperbolic and spherical tetrahedron / J. Murakami, M. Yano // Comm. Anal. Geom. - 2005. - 13. - С. 379 - 200.
11. Schlafli, L. On the multiple integral ... dxdy...dz whose limits are p1 = a1x + b1y + ... + h1z > 0,p2 > 0, ...,pn > 0 and x2 + y2 +... + z2 < 1 / L. Schlafli // Quart. J. Math. - 1858. - 2. - С. 269 - 300; 1860. - 3. - С. 54 - 68; 97 - 108.
12. Schlafli, L. Theorie der vielfachen Kontinuitat / L. Schlafli // Gesammelte mathematishe Abhandlungen.- Basel: Birkhaauser, 1950.
13. Ushijima, A. A volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra / A. Ushijima // Non-Euclidean Geometries (Prekopa A., Molnar E., eds.)/ Math. Appl. - 2006. - 581. - С. 249 - 265.
14. Абросимов, Н. В. Об объеме сферического октаэдра с симметриями / Н. В. Абросимов, М. Годой-Молина, А. Д. Медных // Современная математика и ее приложения. - 2009. - Т. 6. -С. 211 - 218.
15. Винберг, Э. Б. Геометрия-2/ Э. Б. Вин-берг// Итоги науки и техн. Совр. пробл. мат. -М.: ВИНИТИ, 1988. - 29 с.
16. Галиулин, Р. В. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра / Р. В. Галиулин, С. Н. Михалев, И. Х. Сабитов // Мат. заметки. -2004. - Т. 76, № 1. - С. 27 -43.
17. Деревнин, Д. А. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом про¬странствах / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных, М. Г. Пашкевич // Сиб. мат. ж. - 2004. - 45, № 5. - С. 1022 - 1031.
18. Деревнин, Д. А. О формуле объема гиперболического тетраэдра / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных // Усп. мат. наук. - 2005. - 60, № 2. - С. 159 - 160.
19. Сабитов, И. Х. Объем многогранника как функция длин его ребер / И. X. Сабитов // Фун-дам. прикл. мат. - 1996. - Т. 2, № 1. - 348. - С. 305 - 307.
Review
For citations:
Baigonakova G.A., Godoy-Molina M., Mednykh A.D. ON GEOMETRICAL PROPERTIES OF A HYPERBOLIC OCTAHEDRON HAVING mmm-SYMMETRY. The Bulletin of Kemerovo State University. 2011;(3-1):13-18. (In Russ.)
Views:
196
Email this article 