ON VOLUMES OF POLYHEDRA IN SPACES OF CONSTANT CURVATURE
Abstract
We overview the volume calculations for polyhedra in Euclidean, spherical and hyperbolic spaces. We also present some authors results, which provide a solution for Seidel's problem on the volume of non-Euclidean tetrahedron.
Keywords
volumes of polyhedra,
spherical and hyperbolic volumes,
Seidel's problem,
ideal tetrahedron,
orthoscheme
514.13+514.132
About the Author
Nikolay Vladimirovich Abrosimov
Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences
Russian Federation
Russian Federation
References
1. Сабитов, И. Х. Объем многогранника как функция длин его ребер / И. Х. Сабитов // Фундамент. и прикл. матем. - 1996. - Т. 2, № 1. - С. 305 -307.
2. Connelly, R. The Bellows Conjecture / R. Connelly, I. Sabitov, A. Walz // Contrib. Algebra Geom. - 1997. - Vol. 38. - P. 1 - 10.
3. Галиулин, Р. В. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра / Р. В. Галиулин, С. Н. Михалев, И. Х. Сабитов // Матем. заметки. - 2004. - Т. 76, № 1. - С. 27 - 43.
4. Gaifullin, A. Sabitov polynomials for polyhedra in four dimensions / A. Gaifullin.-[Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://arxiv.org/abs/1108.6014, свободный.
5. Schlafli, L. Theorie der vielfachen Kontinuitat / L. Schlafli // Gesammelte mathematishe Abhandlungen. - Basel: Birkhauser, 1950.
6. Bolyai, J. Appendix. The Theory of Space / Janos Bolyai (F. Karteszi ed.) - Budapest: Akademiai Kiado, 1987. - 239 p.
7. Лобачевский, Н. И. Воображаемая геометрия / Н. И. Лобачевский // Учен. зап. Казан. ун¬та. - 1835. - I книжка. -C. 3 - 88.
8. Coxeter, H. S. M. The functions of Schlafli and Lobatschefsky / H. S. M. Coxeter // Quart. J. Math. Oxford. - 1935. - Vol. 6, № 1. - P. 13 - 29.
9. Hsiang, W.-Yi. On infinitesimal symmetrization and volume formula for spherical or hyperbolic tetrahedrons / W.-Yi. Hsiang // Quart. J. Math. Oxford (2). - 1988. - Vol. 39. - P. 463 - 468.
10. Cho, Yu. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra / Yu. Cho, H. Kim // Disc. and Comp. Geometry. - 1999. - Vol. 22. - P. 347 - 366.
11. Murakami, J. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron / J. Murakami, M. Yano // Comm. Anal. Geom. - 2005. - Vol. 13. - P. 379 - 200.
12. Ushijima, A. Volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra / A. Ushijima // Non-Euclidean Geometries. Mathematics and Its Applications. -2006. - Vol. 581. - P. 249 - 265.
13. Mohanty, Ya. The Regge symmetry is a scissors congruence in hyperbolic space / Ya. Mohanty // Alg. Geom. Topology. - 2003. -Vol. 3. - P. 1 - 31.
14. Деревнин, Д. А. О формуле объема ги¬перболического тетраэдра / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных // Усп. мат. наук. - 2005. - Т. 60, № 2. - P. 159 - 160.
15. Винберг, Э. Б.Геометрия-2. Современные проблемы математики, Т. 29 / Э. Б. Винберг -М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1988.
16. Sforza, G. Spazi metrico-proiettivi / G. Sforza // Ricerche di Estensionimetria differenziale III. -1906. - Vol. 8. - P. 3 - 66.
17. Milnor, J. Hyperbolic geometry: the first 150 years / J. Milnor // Bull. Amer. Math. Soc. - 1982. - Vol. 6, № 1. - P. 9 - 24.
18. Seidel, J. J. On the volume of a hyperbolic simplex / J. J. Seidel // Stud. Sci. Math. Hung. -1986. - Vol. 21. - P. 243 - 249.
19. Luo, F. On a problem of Fenchel / F. Luo // Geometriae Dedicata. - 1997. - Vol. 64. - P. 227 -282.
20. Ushijima, A. Volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra / A. Ushijima // Non-Euclidean Geometries. Mathematics and Its Applications. -2006. - Vol. 581. - P. 249 - 265.
21. Абросимов, Н. В. К решению проблемы Зейделя об объемах гиперболических тетраэдров / Н. В. Абросимов // Сиб. электрон. мат. изв. -2009. - Т. 6. - С. 211 - 218.
22. Медных, А. Д. Элементарные формулы для гиперболического тетраэдра / А. Д. Медных, М. Г. Пашкевич // Сиб. матем. журн. - 2006. -Т. 47, № 4. - С. 831 - 841.
23. Абросимов, Н. В. Проблема Зейделя об объ¬еме неевклидового тетраэдра / Н. В. Абросимов // Доклады АН. - 2010. - Т. 435, № 1. - С. 7-10.
Review
For citations:
Abrosimov N.V. ON VOLUMES OF POLYHEDRA IN SPACES OF CONSTANT CURVATURE. The Bulletin of Kemerovo State University. 2011;(3-1):7-13. (In Russ.)
Views:
188
Email this article 